Children, tangibles and geometry

Geometrija je sveprisutna u svim aspektima našeg svakodnevnog života i zbog toga neophodna u obrazovanju svakog pojedinca. Iznimno je apstraktna, čak i na najnižim razinama obrazovanja, i potreban je skup vještina i duboko razumijevanje iste kako bi se prenijelo kvalitetno znanje na učenike u najranijoj dobi. Matematičke kompetencije na razini zemalja Europske unije su jedne od ključnih kompetencija za društvo znanja 21. stoljeća. Zaključci Vijeća o pripremi mladih za 21. stoljeće (2008) naglašavaju važnost stjecanja jezičnih i matematičkih vještina, što se smatra glavnim prioritetom za europsku suradnju u obrazovanju. U istom izvješću se ističe da se učenici boje matematike, a mnogi mijenjaju i obrazovne izbore samo da ne bi učili matematiku.

Najraniji evidentirani znakovi geometrije se mogu pratiti već od doba pračovjeka, koji je otkrio tupi trokut u drevnoj dolini Indus 3000 godina prije Krista. Rana geometrija je zbirka empirijski otkrivenih principa glede duljina, kutova, prostora i volumena, koji su razvijeni za ispunjavanje nekih praktičnih potreba mjerenja, građevinarstva, astronomije te raznih obrta. Među njima su bila neka iznenađujuće sofisticirana načela, primjerice, Egipćani i Babilonci su bili svjesni Pitagorinog teorema 1500 godina prije nego što se on rodio; Egipćani su imali ispravnu formulu za volumen četverostrane piramide i krnje piramide, a Babilonci su imali trigonometrijske tablice. Za drevne grčke matematičare, geometrija je bila najveće dostignuće njihove znanosti, postizanje potpunosti i savršenstva kakvo im niti jedna druga grana znanosti nije mogla priuštiti. Proširili su raspon geometrije na mnoge nove vrste figura, krivulja i površina tijela. Promijenili su metodologiju iz sistema pokušaja i pogrešaka na logičko zaključivanje. Danas je geometrija neophodna za život svakog pojedinca, pa je stoga iznimno važno na kvalitetan način poučavati geometriju.

U okviru ispitivanja matematičke pismenosti u projektu PISA, postoji program međunarodnog procjenjivanja znanja i vještina učenika kojeg su zajednički razvile zemlje članice organizacije OECD. Cilj razvoja i uvođenja PISA programa bio je “utvrđivanje stupnja do kojeg su učenici, koji se bliže završetku obaveznog obrazovanja, usvojili neka znanja i stekli kvalifikacije koje su neophodne za njihovo potpuno uključivanje u društvo” (PISA/ OECD Framework ). Prema istom izvoru, matematička pismenost je sposobnost pojedinca da prepozna i razumije ulogu koju matematika ima u svijetu, da donosi dobro utemeljene odluke i da primjenjuje matematiku na načine koji odgovaraju potrebama trenutnog i budućeg života tog pojedinca kao konstruktivnog, odgovornog i promišljajućeg građanina. Hrvatska u matematičkim kompetencijama zauzima četrdeseto mjesto među 65 ispitanih i rangiranih zemalja. Naši su učenici riješili tek oko 5% zadataka iz skupine težih zadataka.

Postavlja se pitanje, koji su razlozi za ovako lošu riješenosti. Mišljenja sam da odgovor leži u sljedećem:

1. Dob u kojem djecu počinjemo poučavati geometriju
2. Educiranost poučavatelja
3. Metode i načini poučavanja
4. Nekorištenje modernih tehnologija

Za početak, koja bi onda bila pogodna dob za učenje geometrije? Kao matematičar smatram da je što raniji početak bolji za djecu, stoga je važno krenuti od vrtićke dobi, dakle prije formalnog školskog obrazovanja. U ciljevima nacrta novog Nacionalnoga kurikuluma za rani i predškolski odgoj i obrazovanje (2014.),  koji je usmjeren prema cjelovitom razvoju, odgoju i učenju djece te razvoju njihovih kompetencija, uz matematičku, digitalna kompetencija predstavlja jednu od osam temeljnih kompetencija koja se u ranoj i predškolskoj dobi razvija upoznavanjem djece s informacijsko-komunikacijskom tehnologijom. Uloga tehnologije u učenju tema je rasprave mnogih studija i pitanje je poboljšava li tehnologija učenje i u kojoj mjeri. Prema nekim istraživanjima provedenim u dječjim vrtićima u Hrvatskoj, većina djece predškolske dobi se koristi računalom, odnosno vrlo lako usvajaju pravila rada na računalu (u igranju računalnih igara, crtanju, pregledavanju slika ili prvim pokušajima pisanja). Mogućnosti djetetove uporabe informacijsko-komunikacijske tehnologije su vrlo široke. Ona predstavlja značajan izvor učenja djeteta, ali i sredstvo zapisivanja procesa osobnog i zajedničkog istraživanja i učenja te prigodu za samo-evaluaciju  realiziranih aktivnosti.

Lijepo piše u tim kurikulima, matematičke kompetencije. A tko će ih naučiti tim kompetencijama? Što je sa kompetencijama poučavatelja? Kompetencije poučavatelja, bilo da je riječ o odgajateljima, ili pak učiteljima razredne nastavne, nisu na razinama na kojima bi trebale biti.

Uzmete li malo vremena, pa pogledate studijske programe za Odgajatelje u Hrvatskoj,  vidjet ćete nešto vrlo neobično. Naime, obaveznih matematičkih kolegija na studiju za Odgajatelje nema. Samo se na ponekim sveučilištima, nudi se pokoji izborni kolegij vezan za matematiku. Da, dobro čitate, odgajatelji se obrazuju i o književnosti, i o psihologiji, i o pedagogiji, metodici, umjetnosti, kineziologiji, ali, ne i o matematici. Promislite sad, mogu li ti odgajatelji prenijeti znanja, makar i elementarna, iz matematike, na adekvatan način. Nemojte mislit da su znanja iz matematike nepotrebna djeci vrtićke dobi. Dapače, itekako su potrebna. Ako ništa drugo, piše u kurikulumu.

Pa dobro, pomislit ćete, naučit će djeca kad krenu u školu. A hoće li? Koliko ste zapravo upoznati sa programom studija za Učitelje u Hrvatskoj? Na studijima za Učitelje u Hrvatskoj, najčešće za obavezne matematičke kolegije imaju Matematiku I i II, te metodike nastave matematike. Ovdje kao pozitivni izuzetak ističem studij za Učitelje Sveučilišta u Zadru, koji ima čak osam obaveznih matematičkih kolegija. Dakle, prosječni učitelj razredne nastave, koji dijete treba upoznati i podučiti osnovnim i krucijalnim matematičkim znanjima, u Hrvatskoj položi u prosjeku, tek četiri matematička kolegija. Da, četiri… A učitelji su ključni za razvoj djetetovih daljnjih vještina, jer ako dijete osnove ne savlada u ovoj dobi, kasnije ima mnogo problema. To je nažalost razvidno u Hrvatskoj, jer sigurno znate za fenomen „repeticija iz matematike“ kod nas. Kako ono kažu, „Teška je“, „Ne treba mi“, „Meni idu bolje drugi predmeti“. Kako li smo se doveli u tu situaciju? Pa odgovor je gore napisan. Neadekvatnim obrazovnim programom za odgajatelje i učitelje.

Sve ovo ne bi bilo toliko zabrinjavajuće da oni koji poučavaju djecu osnovama matematike, a pogotovo geometrije, koja je izrazito apstraktna, imaju barem elementarna znanja i stavove o matematici i geometriji. Pa, i to je valjalo istražiti.  Zato sam 2014. godine odlučila ispitati koja temeljna znanja i stavove o geometriji imaju učitelji Učiteljskog studija u Zadru. Uzorak ispitanika sastojao se od 28 studenata druge godine učiteljskog studija i od 52 studenata prve godine učiteljskog studija. Sveukupno je u istraživanju sudjelovalo 80 studenata, od čega 78 ženskog te 2 muškog spola. U svrhu prikupljanja podataka konstruiran je test temeljnih znanja iz elementarne geometrije i anketni upitnik. Test i anketni upitnik bili su anonimni i nenajavljeni, a zadaci su se uglavnom sastojali od gradiva osnovne škole, gradiva kojeg oni trebaju poučavati i ponešto gradiva srednje škole. Obzirom da test nije bio najavljen, postojao je efekt iznenađenja, ali željelo se ispitati kakvo je njihovo trajno elementarno znanje, kako bi se dobila što jasnija slika onog što su naučili iz geometrije kroz dosadašnje razine obrazovanja, a što što im predstavlja najveće poteškoće. Anketni upitnik je bio sljedeći:

Prvi značajni rezultat dobiven ovim istraživanjem bio je postotak prolaznosti testa. Prolaznost se računala kao omjer broja ostvarenih bodova i sveukupnog broja bodova. Prolaz je ostvarilo svega 36,25% studenata, odnosno 29 studenata od sveukupno 80. Posebno zanimljiva bila je riješenost sljedećeg zadatka:

Od pet navedenih likova, studenti su najmanje prepoznavali, odnosno najmanje ispravno imenovali treći lik na slici. Svega 10% studenata prepoznalo je i imenovalo svih pet navedenih likova, uključujući i treći lik sa slike, odnosno “deltoid”. Razlog zbog kojeg posebno ističemo ovaj lik, jest njegova maštovita upotrebljivost pri učenju geometrije kod djece. Naime, ovaj lik djeci se najlakše može prezentirati kao igračka zmaj. Ovakvim asocijacijama djeca lakše pamte geometrijske likove i njihove odnose i prepoznaju te likove u svakodnevnom životu. Postavlja se pitanje, kako će se budući učitelji dosjetiti maštovito upotrijebiti ovaj specifičan geometrijski lik, kad ga tako maleni postotak njih prepoznaje.

Iz dobivenih rezultata možemo iščitati gotovo alarmantne podatke o neznanju geometrije budućih učitelja razredne nastave. Najveće poteškoće upravo imaju s definiranjem osnovnih pojmova koje će u budućem poslu morati podučavati djecu. Pitanje je kako će to učiniti kad su im ti pojmovi nejasni ili pak potpuno nepoznati. Detaljnom analizom testova utvrdilo se i kako studenti koji su pokušali definirati pojedine pojmove, vrlo često su to radili iznimno neprecizno, dvoznačno i nerazumljivo. Kod nekih je prisutna i stanovita razina nepismenosti. Iz razlikovanja geometrijskih likova studenti su pokazali određeno znanje, međutim, čak 10% njih ne razlikuje ili ne prepoznaje najosnovnija geometrijska tijela. Poznavanje odnosa među geometrijskim likovima, gdje se očekuje primjena deduktivnog načina razmišljanja predstavlja problem za gotovo polovicu studenata. Razlog leži upravo u neznanju osnovnih definicija, jer iz nepoznavanja osnovnih svojstava ne mogu zaključivati na složenije pojmove.

Svi ovi podaci ukazuju kako su neophodne promijene u sustavu i načinu obrazovanja kojima podučavamo elementarne matematičke pojmove, a posebice pojmove iz elementarne geometrije.

Anketni upitnik dao je uvid u neka razmišljanja i samoprocjene o učenju geometrije, Pogledamo li rezultate ankete, vidimo kako čak 12% studenata učiteljskog studija ne smatra geometriju važnom u svojem obrazovanju, a 13% ih nije sigurno. Nadalje, na anketno pitanje 9. Smatraš li geometriju važnom u obrazovanju općenito? Obrazloži, 10% studenata je dalo negativan odgovor i obrazloženje. Zanimljivo je za primijetiti kako više studenata smatra geometriju važnom u vlastitom obrazovanju, i to obrazlažu činjenicom kako će geometriju morati poučavati u svojem budućem poslu, ali ne znaju je li geometrija važna u obrazovanju općenito, ili je pak smatraju nevažnom. Čak 26% studenata ne zna je li geometrija važna u obrazovanju općenito.

Posebno valja istaknuti upravo obrazloženja koja su dali studenti koji geometriju ne smatraju važnom kako u vlastitom, tako ni u obrazovanju općenito.

Rezultati ankete daju nam uvid u iznimno važna razmišljanja i stavove koje studenti učiteljskog studija imaju prema geometriji. Možemo se zapitati na čemu temelje takve stavove, ali odgovor se krije upravo u razinama obrazovanja koja su dosada prolazili. Način na koji su im matematički pojmovi općenito prezentirani, stvara negativnu sliku o geometriji kao nečem “nevidljivom” ili “manje razumljivom”, jer zahtjeva deduktivan način pristupanja rješavanju problema. Nema “recepta” kojim se zadatak iz geometrije može riješiti, već je potrebno dubinski razumjeti osnovne pojmove i njihove odnose kako bi ispravno postigli rješenje problema. Ako budući učitelji smatraju kako je geometrija nevažna jer je neupotrebljiva u svakodnevnom životu, pitanje je na koji način će ti isti budući učitelji prezentirati geometriju djeci i hoće li se njihovi negativni stavovi prenijeti na naraštaje djece koju će poučavati. Činjenica je kako se “računanje” prezentira kao neophodan dio u matematičkom obrazovanju, a geometrija, koja sačinjava svijet koji nas okružuje, biva marginalizirana iz dubinskog neznanja i nerazumijevanja. To je odgovor na pitanje zašto studenti učiteljskog studija smatraju kako je “računanje” važnije u njihovom budućem poslu, nego li je to geometrija. Čak valja istaknuti kako nitko u anketi nije primijetio povezanost geometrije, primjerice s likovnom umjetnosti, ili pak arhitekturom. Razlog tome leži u činjenici da se znanja prenose radi znanja općenito, ali ne i načini na koji bi se ta ista znanja primjenjivala u svakodnevnici. Gotovo bismo mogli reći kako podučavamo naraštaj kojemu dajemo “kvizološka” znanja, odnosno informaciju, a ne dajemo odgovor ili uputu kako te iste informacije ili znanja primijeniti u različitim životnim prilikama. Djeca u najranijoj dobi moraju dobiti mogućnost razvijanja svojeg apstraktnog poimanja svijeta, kako bi u budućnosti bili kvalitetni članovi zajednice u kojoj žive. Iz tog razloga je poučavanje geometrije neophodno, ali onda je neophodno da budući učitelji imaju spoznaju o važnosti geometrije općenito.

Valjalo bi nešto reći i o metodama i načinima poučavanja, ali, u tom kontekstu treba razmišljati o fazama razvoja djeteta. Ovdje ću se bazirati na Jean Piaget-a, švicarskog psihologa i filozofa, te jednog od najvažnijih istraživača kognitivnog razvoja djece. Neosporiva je činjenica da Piaget danas slovi za jednog od najpoznatijih razvojnih psihologa čije se ideje naširoko prihvaćaju, i smatra se vodećim predstavnikom razvojne psihologije 20. stoljeća. Njegove su teorije bitno utjecale na psihologiju, filozofiju, pedagogiju i informacijske znanosti. Proučavajući djecu, Jean Piaget je ponudio teoriju kognitivnog i moralnog razvoja djece od rođenja do odrasle dobi. U sklopu te teorije je utvrdio četiri stupnja dječjeg kognitivnog razvoja, koja su povezana s dječjom dobi:

• Stupanj senzomotorne inteligencije
• Razdoblje predoperacionalnog mišljenja
• Razdoblje konkretnih operacija
• Razdoblje formalnih operacija.

Piaget je smatrao da je inteligencija proces, tj. da dijete uči razumijevati svijet prilikom djelovanja ili operiranja njime. Prema njemu, kognitivni razvoj djeteta se može opisati pomoću spoznajnih struktura i funkcija. Funkcije se odnose na biološki utemeljene sklonosti ka organizaciji znanja u spoznajne strukture i na prilagođavanje na izazove okoline, dok su spoznajne strukture međusobno povezani sustavi znanja koji su u osnovi inteligentnog ponašanja i njime upravljaju. Piaget je također pretpostavio da su stupnjevi invarijantni, univerzalni i općeniti. Pod pojmom invarijantni podrazumijeva se njihova nepromjenjivost, tj. da se uvijek odvijaju po određenom redoslijedu i da se nijedan stadij ne može preskočiti. Također, pod univerzalnošću se podrazumijeva kulturalna nepristranost, tj. da djeca različitih kultura i društvenog porijekla prolaze kroz iste razvojne stadije.

Unutar faze senzomotoričkog razvoja koja se proteže od rođenja do druge godine djetetova života, dijete upotrebljava motorički i osjetni sustav kako bi upoznalo i istražilo fizički i socijalni svijet koji ga okružuje. Na početku ovog razdoblja djetetov repertoar ponašanja uključuje jednostavne, urođene reflekse koji se kasnije razvijaju u senzomotoričke sheme, tj. spoznajne strukture dojenčeta. Tijekom prve dvije godine djeca se razvijaju iz bespomoćnog novorođenčeta s jako malo saznanja o svijetu oko sebe u mislioca koji uspješno djeluje na svoju okolinu i njome operira. U procesu razvoja spoznaje o konstantnosti objekta Piaget je primijetio tendenciju djece u dobi od 12 do 18 mjeseci da traže skriveni objekt na mjestu gdje je prethodni put nađen, iako su vidjeli da je u međuvremenu promijenjena lokacija. U dobi od 18 do 24 mjeseca djeca postaju sposobna koristiti mentalnu reprezentaciju kojom se služe pri potrazi za sakrivenim objektima. Upravo ovaj period predstavlja okosnicu Piagetovog poimanja konstruktivizma-dijete je kao aktivni graditelj znanja, korak po korak, kao rezultat neprestanog eksperimentiranja sa shemama izgradilo pojam o glavnim osobinama fizičkog i socijalnog svijeta.

Dijete od druge godine postaje sposobno koristiti mentalne reprezentacije i simbolički misliti. Predodžbena inteligencija je znatno brža i djelotvornija od senzomotoričke jer dijete može pokušati riješiti problem u glavi umjesto da se upusti u ponekad neekonomičnan i spor proces iskušavanja svih mogućih solucija. Slično, pomoću predodžbene inteligencije dijete može razmišljati o prošlosti i maštati o budućnosti. Prema Piagetovom stajalištu, upravo iz te sposobnosti korištenja jedne stvari kao simbola za nešto drugo izviru brojne druge sposobnosti. Ipak, predoperacijsko dijete nije još dovoljno vješto pri korištenju predodžbene inteligencije stoga čini brojne kontraintuitivne pogreške pri raznolikim zadacima.

Razdoblje konkretnih operacija se proteže kroz srednje djetinjstvo-od 6. do 11. ili 12. godine. Dijete za vrijeme razdoblja konkretnih operacija posjeduje dosljedni logički sustav koji se može primijeniti za cjelokupni raspon različitih problemskih zadataka. U Piagetovim terminima, dijete djeluje pomoću operacija, tj. raznovrsnih oblika mentalnih radnji kojima rješava probleme i rasuđuje o svijetu oko sebe. Piaget je namjerno o operacijama govorio u množini s obzirom da se one odnose na čitav skup različitih vrsta operacija. Dijete postaje sve više sposobno za decentraciju, odnosno postaje sposobno za fokusiranje na više različitih aspekata situacija i problema u isto vrijeme. Piaget smatra da dijete u stadiju konkretnih operacija počinje shvaćati da se jedna stvar odvija u oba pravca svoga tijeka znajući da je to ta ista radnja. Primjerice, ono može pratiti novi put i zatim se tim istim putem vratiti na početnu točku. S vremenom ono postaje sve kompetentnije u razumijevanje logike i strukture klasifikacijskog sustava. Temeljno ograničenje razdoblja konkretnih operacija je upravo u terminu konkretan-dijete je još ograničeno na bavljenje s onim što se nalazi ispred njega, tj. s konkretnim i opipljivim stvarima.

Formalno-operacijsko razdoblje započinje s početkom adolescencije i traje do kraja života. Razmišljanje postaje fleksibilnije, racionalnije i sistematičnije. Pojedinac može istodobno kritički razmatrati različite solucije problema koristeći pri tome raznolika gledišta. Pojedinac konačno može operirati nad operacijama, odnosno nije ograničen na konkretne i opipljive stvari. Pod pojmom formalne operacije Piaget je podrazumijevao hipotetičko deduktivno rasuđivanje. Termin se odnosi na rješavanje problema koje karakterizira postavljanje i provjeravanje hipoteza te naposljetku logičko zaključivanje na temelju tog testiranja.

Suvremena istraživanja potvrđuju Piagetovo stajalište da je predoperacijsko razdoblje vrijeme postepenog razvoja simboličke funkcije tijekom kojeg djeca postaju sve kompetentnija u korištenju mentalnih reprezentacija te znakova i simbola, a posljedično i sve većoj mogućnosti korištenja predodžbene inteligencije, predoperacijsko razdoblje predstavlja vrijeme posebnih spoznajnih postignuća. No, ograničenja predoperacijske misli ometaju dijete u logičkom prosuđivanju koje počiva na načelima konzervacije (mase, težine, volumena, kontinuirane veličine, broja). Upravo iz ovog razloga je potrebno smisleno učenje, koje je moguće samo ako odgovara razini kognitivnog razvoja. Valja djeci omogućiti što veći broj različitih aktivnosti koje će im omogućiti izravnu interakciju s okolinom. Piaget daje prednost aktivnim obrazovnim metodama, a nema povjerenja ni u mehaničko ili pretjerano verbalno učenje. Pristup treba bit usmjeren na dijete – učenje po mjeri učenika, dakle, individualizirani pristup; djeca prirodno prolaze kroz faze razvoja i odgajatelj/učitelj ga ne smije požurivati. Dijete mora imati zanimljivu i poticajnu okolina za učenje. Sve ovo je iznimno važno prije samog djetetovog polaska u školu, stoga ovdje navodim jednu od najvažnijih pedagoginja uopće, a to je Maria Montessori, koja je smatrala da bi djecu valjalo poučavati u trogodišnjim skupinama koje odgovaraju različitim razvojnim fazama.

Dr. Maria Montessori bila je jedna od osoba čije naslijeđe mijenja svijet, rođena 1870. godine u Chiaravalleu kraj Ancone, i  bila je prva žena u Italiji koja je upisala studij medicine i završila ga sa svojih 26 godina. Kao asistentica u bolnici radila je na odjelu s “djecom izvan sustava”, djecom za koju se tvrdilo da ih je nemoguće poučavati. Kako bi pomogla toj djeci dr. Montessori počela je stvarati svoj didaktički materijal, dajući djeci mogućnost učenja kroz igru, u šarenilu boja, dodirom, i najvažnije od svega, svojom željom. Maria Montessori pokazala je kako učenje polazi od djeteta, a ne od učitelja. Glavna misao vodilja njene pedagogije bila je “Pusti me da naučim sam”. U školama koje rade po Montessori metodi, učenici odlučuju, organiziraju i upravljaju svoje učenje, pri čemu nastavnik u pozadini nadgleda i usmjerava napredak svakog učenika pojedinačno. Ovisno o razvojnom stupnju u kojem se dijete nalazi, pristup u nastavi i materijali s kojima dijete radi, prilagođavaju se njegovim sposobnostima i interesima. Cilj Montessori obrazovanja nije natrpati dječje glave raznim informacijama, nego ih pripremiti za svakodnevni život, poticati kod djece želju za stalnim stjecanjem novog znanja, pokazati im kako cijeniti rad i rezultate zbog njih samih, omogućiti im da vlastitim iskustvom razviju organizacijske sposobnosti i odgajati ih tako da postanu savjesni, odgovorni i obrazovani članovi obitelji i društva.

U poučavanju, ključnu ulogu imaju didaktički materijali koji se izrađuju od prirodnih materijala i u izvornom obliku kako je osmislila Maria Montessori, i isti su u svim obrazovnim ustanovama koje rade Montessori metodom. Unutar svakog predmetnog područja materijali su razvrstani prema tematici, unutar koje se nadograđuju od osnovnih, najjednostavnijih prema složenima, tako da kad učenik primi u ruke napredniji materijal ima potrebno predznanje da ga samostalno svlada. Kako bi neki materijal bio pogodan za učenje mora omogućiti djetetu da bude aktivno, mora pobuditi njegovu znatiželju i zatim mu u potpunosti okupirati pozornost. Potrebno je da materijal ima kontrolu greške kako bi dijete moglo samostalno, neovisno o odraslima, uočiti i ispraviti svoje pogreške. Materijal treba davati mogućnost ponavljanja kako bi se savladao algoritam, uvježbala aktivnost, usvojio pojam, dovodeći konačno učenika od konkretnog –materijala – do apstraktnog – znanja. Rad s materijalom započinje uvodnom prezentacijom – pričom. Priče se javljaju u svim predmetnim područjima, a u matematici su to najčešće motivacijske priče s povijesnim aspektom. Prilikom upoznavanja s materijalom, učitelj učenika priprema kroz lekciju u tri stupnja:

• upoznavanje s pojmom, konceptom, algoritmom s pomoću poučavanja, pričanja, čitanja;
• usvajanje informacije, razumijevanje koncepta i razvijanje algoritma putem rada, eksperimentiranja, stvaranja;
• “znanje”, razumijevanje i korištenje usvojenog znanja, koje se pokazuje uspješnim i sigurnim prolaskom na provjeri.

Matematički kurikulum u Montessori obrazovanju počinje već u vrtiću. Djeca u razdoblju od tri do šest godina dolaze u doticaj s materijalima s pomoću kojih kroz senzoričke doživljaje klasificiraju, broje, redaju, slažu i uspoređuju. Važno je da dijete u ovako ranom razdoblju stvara konkretna iskustva, pojmove i relacije kako bi ih kasnije moglo lakše pretočiti u apstraktne pojmove, pravila i postupke. Dr. Montessori je bila izniman logičar i prirodoslovac, što se vidi na matematičkom materijalu, kojemu je pridala veliku pozornost. Montessori matematički materijal omogućuje djetetu da konkretnim doživljajima stvara osnovna matematička iskustva, ponavljanjem vježbi da dolazi do temeljnih spoznaja, te koristeći materijal uoči vezu geometrije, aritmetike i algebre. Pa navedimo neke primjere tih materijala:

Brojenje. Prvi matematički materijal s kojim se djeca (u dobi od tri godine) susreću u Montessori školi su brojevni prutovi.

Svaki brojevni prut podijeljen je naizmjence na plava i crvena polja duljine 10 cm, pri čemu je najmanji prut crvene boje i duljine 10 cm. Cilj rada s brojevnim prutovima je:

• usvajanje pojma o količini i brojevima od 1 do 10;
• stvaranje prediskustva s metrijskim sustavom;
• brojenje od 1 do 10.

Geometrija. Pitagorin poučak jedan je od matematičkih teorema koji ima mnogo dokaza, od kojih je velik broj dokaza bez riječi. U Montessori materijalu nalazi se jedan od dokaza ovog poučaka preslagivanjem – po originalnom dokazu iz Euklidovih Elemenata.

Premještanjem bijelog (pravokutnog) trokuta i zamjenom plavih i žutih kvadrata paralelogramima iste boje uoči se kako su oni jednake površine. Ako još premjestimo i crvene pravokutnike, uočava se kako su oni jednake površine kao i plavi i žuti paralelogram zajedno. No, tada i plavi i žuti kvadrat imaju zajedno jednaku površinu kao i veliki crveni kvadrat, odnosno zbroj kvadrata nad katetama jednak je kvadratu nad hipotenuzom.

Materijal za određivanje formula za površinu pravokutnika, paralelograma i trokuta sastoji se od ploča na kojima je označena mreža jediničnih kvadrata.

Ploče su ili pravokutnog oblika ili oblika nekog od navedenih likova. U materijalu se nalaze i dijelovi ploča koje se mogu sastaviti u jedan od likova, ali ujedno i u pravokutnik (za paralelogram) ili polovicu pravokutnika (za trokut). Ovaj je način preslagivanja dijelova iz jednog oblika u pravokutnik ili pravokutni trokut jednake površine senzorički, konkretni prikaz dokaza valjanosti formula za površinu.

Montessori metoda uz još neke alternativne pedagoške metode pokreće revoluciju u obrazovanju. Frontalna metoda poučavanja dobiva pridjev “zastarjelo”, te se učiteljima sve više predlaže korištenje drugih postupaka kojima će djecu maksimalno uključiti u nastavni proces. U 21. stoljeću stoga bi valjao razmišljati o načinima kako Monterssori didaktičke materijale učiniti još interaktivnijima, a najbolji način za postizanje interaktivnosti je tehnologija. Upravo na tragu ovih razmišljanja počeli su se razvijati edukativni interaktivni materijali, koji koriste računala, tablete, tangibles i augemented reality  (AR) tehnologiju. Brojne su studije pokazale da djeca jako dobro uče dodirom, što je pogodovalo razvoju edukativnih materijala koji koriste tangibles tehnologiju; tehnologija u kojoj objektom upravljamo dodirujući ga, a on ima i druga tehnološka svojstva pomoću koji daje izlazne informacije ili računalom ili projekcijom ili samim dodirnim objektom. ( Naravno, ovdje može biti riječ i o dodirnim sučeljima). Ovim načinom digitalnoj informaciji dajemo fizičku formu, zbog čega je učenje mnogo lakše.

Kako je dodirna tehnologija znatno napredovala u posljednjih 15 godina, tako su se mnogi znanstvenici iz HCI-a, počeli baviti tematikom interakcije djeteta i računala, te uporabe dodirne tehnologije i AR tehnologije za postizanje boljih rezultata u učenju. Do sada su ta istraživanja ostala na pojedinačnim eksperimentima u kojima su se primjenjivale tehnologije posebno dizajnirane za taj eksperiment ili već gotove računalne igre. Stoga ću navesti samo neke od meni posebno dojmljivih studija i razvijenih tehnologija.

U radu Using ‘tangibles’ to promote novel forms of playful learning (2003.), autora S. Pricea, Y. Rogersa, M. Scaifea, D. Stantonb i H. Nealeb-a, prezentirano nam je istraživanje koje su proveli s djecom u dobi od 6 do 12 godina, a cilj je bio ispitati kako različiti novi tangibles podupiru učenje igrom. Uz zabavu, učenje kroz igru trebalo bi sadržavati sljedeće ključne povezane aktivnosti kroz koje se uči:

1. Istraživanje kroz interakciju (smanjuje neodlučnost u novim situacijama i potiče otkrića)
2. Angažiranost
3. Refleksiju
4. Maštu, kreativnost i razmišljanje na različitim razinama apstrakcije
5. Suradnju

Razvili su igru SNARK, (SNARK je nevidljivo izmišljeno biće), koja je imala sljedeću svrhu: 1. učiniti „nevidljivo“ „vidljivim“, 2. dovest „daleko“ „bližem“:

1. Djeca su morala pronaći skrivene nevidljive tragove u fizičkoj sobi koristeći uređaj za ručno rukovanje imena „The Snooper“- ultrasonični snezor i elektronički kompas pomoću kojeg su djeca šetala sobom i tražila nevidljive objekte. Ti objekti su se kasnije transformirali u fizičke objekte pomoću kojih su saznali više o biću SNARK i onda s njime interaktirali.   
2. Cyberjacket- Micanjem ruku ili nogu djeca bi utjecala na SNARK-a koji bi se pojavio ili promijenio ponašanje. Na ovaj način djeca sama stvaraju model interkacije.

U radu „A Conceptual Framework for Mixed Reality Environments: Designing Novel Learning Activities for Young Children“, autora Yvonne Rogers, Mike Scaife, Silvia Gabrielli, Hilary Smith, Eric Harris iz 2002. godine, autori su pokušali odgovorit na pitanje kako konceptualizirati i dizajnirati mixed reality environments (MRE). Fokus je na novim formama fizičkih i opipljivih ideja kojima bi se djeca mogla potaknuti na daljnja istraživanja, a poseban je fokus na promicanju refleksije jer ona stimulira svjesnost i povećava učenje. Cilj je bio započeti bolje shvaćati koje posebne efekte MRE-i imaju na daljnje dječje istraživačko ponašanje i refleksiju, te kako poznatu ideju ili aktivnost „obući“ u kontekstu MRE-a, stvarajući time devijaciju od onog što djeca inače očekuju da će se dogoditi, te uvidjeti koje će njihove reakcije na to biti. U svrhu istraživanja je stvoren CHROMARIUM– okruženje u kojem se može manipulirati bojama, miješati boje, promatrati i eksperimentirati.; aktivnost koju djeca obično rade vodenim bojama u dobi od 5 do 6 godina. U istraživanju su sudjelovala djeca od šest godina. Uz pomoć CHROMARIUMA postižu se različiti oblici transformacija iz fizičkog u digitalni svijet. Djeca nabolje reagiraju na transformaciju iz fizičkog u digitalno. Fizičkim pomicanjem objekata dobiju digitalni rezultat.

Na slici su redom: fizičko- fizička transformacija, fizičko- digitalna transformacija, digitalno- digitalna tranformacija i digitalno- fizička transformacija.

U knjizi „Mobile Technology for Children“(2009), koju je uredila Allison Druin (inače vrlo značajna autorica radova iz područja interakcije djeteta i računalnih tehnologija), u poglavlju „How Mobile Technologies Are Changing the Way Children Learn“, autorice Yvonne Rogers i Sara Price, govore o tome kako mobilna tehnologija mijenja načine na koji djeca uče. Mobilna tehnologija fizički daje više mogućnosti u sveobuhvatnom fizičkom, digitalnom i komunikacijskom prostoru. Mogu se navesti četiri tipa aktivnosti pomoću mobilne tehnologije:

1. Fizičke igre za vježbu (poput FloorMath-a, šetnje kroz brojeve)
2. Simulacije sudjelovanjem; dinamički sustavi- Thinking Tags
3. Izleti i posjeti- AMBIENT WOOD
4. Stvaranje sadržaja (djeca mogu stvarati sadržaj odmah poput slika ili videozapisa)

 FloorMath kombinira senzorsku ugrađenu tehnologiju sa vizualnom reprezentacijom brojevnog sustava koji se pojavljuje na ekranu. Kako se djeca miču po kvadratima na podu, odgovarajući brojevi se mijenjaju na ekranu. „Šetajući“ kroz brojeve pomaže se djeci da vide i razumiju apstraktne koncepte na jedan nov način.

Tri su glavna izazova u korištenju mobilne tehnologije za povećanje učenja: izbjegavanje preopterećenja informacijama, sprječavanje djece da budu zaokupljena samom mobilnom tehnologijom i ograničavanje dizajna iskustva učenja tako da djeca ne rade sve sama.

U radu „TUIs vs. GUIs: comparing the learning potential with preschoolers“(2010), autora Cristina Sylla, Pedro Branco, Clara Coutinho i Eduarda Coquet-a, napravljeno je istraživanje o usporedi TUI sučelja sa tradicionalnim GUI sučeljima, a u istraživanju su učili djecu u dobi od 4 i 5 godina oralnoj higijeni. U TUI sučelju djeca su velikom zubnom  interaktivnom četkicom čistila interaktivni zub koji im je vraćao informaciju da je čist i svjež. U GUI sučelju zube su čistili mišem, a na ekranu bi im se zub osmjehnuo i rekao da je čist.

Rezultati istraživanja su naravno išli u prilog TUI sučelju.

Ovakvih istraživanja ima, ali još uvijek nedostaje prave strukture i velike studije o TUI tehnologiji kojom bi empirijski pokazao i dokazao utjecaj ovakvih tehnologija na bolje učenje, primjerice geometrije, kod djece predškolske dobi.

U članku „Knowledge Gaps in Hands-on Tangible Interaction Research“, (2012.), autorica Alissa N. Antle daje nam važan uvid u sve ono što se u ovom području još ne zna. Ona naglašava potrebu za ispitivanjem ove tehnologije za rješavanje prostornih problema. Također, autorica nam prezentira iznimno važna pitanja i „jazove“ u znanju koje imamo vezanu za navedeno područje ispitivanja:

What kinds of tangible and touch interface features support complementary actions for particular types of problems? Do these features enable children to solve harder problems than they might without such support? Does more this type of problem solving improve conceptual learning related to the problem’s content domain?

Are tangible or touch manipulatives effective for spatial problem solving? Does learning how to solve a specific spatial problem transfer to similar problems? Do tangibles or touch tools that enable mutual adaptation and improve spatial problem solving in one domain enable such understanding to transfer to other spatial domains? What features best enable social mutual adaptation?

Antle daje ključne smjernice za dizajn novih tehnologija budućim istraživačima, temeljem dosadašnjih saznanja. Ono oko čega se svi slažu jest da djeca moraju biti sudionici u dizajnu, jer dizajn koji bi njima bio usmjeren je različit od onog standardno čovjeku usmjerenog dizajna. Mišljenja je kako je potrebno učiniti ogromna empirijska istraživanja vezana za dodirnu tehnologiju, djecu i načine na koji ona uče i manipuliraju objektima u prostoru, i kako ta manipulacija pomaže razvoju njihovih sposobnosti. Autorica smatra kako je potrebno dosadašnja istraživanja generalizirati, jer istraživanja pojedinačnih slučajeva nisu dovoljna, a komparativne studije imaju višestruke faktore koji variraju u istraživanjima. Mišljenja je da pristup problematici ne može biti jednostran, već je potrebno vršiti studije iz različitih znanosti kako bi se pridonijelo boljem razumijevanju kako i zašto tangibles podupiru dječje rješavanje prostornih problema. Zaključuje kako će rezultati ovih studija biti značajni za zajednicu edukacijskih znanosti, psihologije, računarstva, HCI-a, te na koncu interakcije djeteta i računala.

U ovom smjeru se kreću i moja razmišljanja i ono što smatram vrijednim ispitivanja. Potrebno je učiniti dublju studiju utjecaja interakcije djeteta i računale tehnologije, na razvoj matematičkih kompetencija pomoću računala (poglavito geometrijskih vještina), te primjene istih na rješavanje prostornih problema.  Djeca pri završetku programa predškolskog odgoja,  moraju odraditi stanovite testove (naravno, na papiru i bez računala) kojima se ispituje njihova osnovna pismenost, raspoznavanje boja, motoričke vještine, ali i matematičke vještine. Pa tako djeca moraju znati brojati, popunjavati labirinte i slično. Bilo bi zanimljivo ispitati mogu li se postizali bolji rezultati iz navedenih testova kad bi djeca učila i polagala test ( odnosno, dio testa) putem određene, posebno dizajnirane računalne aplikacije ili dodirne tehnologije, te kako bi to utjecalo na njihova daljnja učenja matematičkih koncepata.